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3連単・3連複の組み合わせは何通り？頭数別の計算と的中確率
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3連単や3連複は「何通りあるか」を数えるだけで、でたらめに選んで当たる確率がどれくらい小さいかがわかります。このページでは出走数を動かして券種ごとの組み合わせの数を比べ、ボックスの点数や、すべての組み合わせを並べた一覧で数え方を確かめられます。
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組み合わせの数え方（順番を区別するか、しないか）
券種の違いは、「何着までを当てるか」と「着順（順番）まで当てるか」の2点だけです。1着・2着・3着を着順どおりに当てる3連単は順列、着順を問わずに上位3つの番号だけを当てる3連複は組み合わせで数えます。
出走数を n とすると、3連単は1着が n 通り、2着は1着以外の n−1 通り、3着は残りの n−2 通りなので、かけ算で求められます。3連複は、同じ3つの番号の並べ方（3×2×1＝6通り）を1つにまとめるので、3連単の数を6で割ります。
3連単 ＝ n×(n−1)×(n−2) ／ 3連複 ＝ n×(n−1)×(n−2)÷6
2着までを当てる2連単は n×(n−1)、2連複はその半分です（2つの番号の並べ方が2通りのため）。競馬の「馬単」は2連単、「馬連」は2連複と同じ数え方になります。
| 券種 | 式 | 6艇 | 18頭 |
|---|---|---|---|
| 単勝 | n | 6通り | 18通り |
| 2連複 | n(n−1)÷2 | 15通り | 153通り |
| 2連単 | n(n−1) | 30通り | 306通り |
| 3連複 | n(n−1)(n−2)÷6 | 20通り | 816通り |
| 3連単 | n(n−1)(n−2) | 120通り | 4,896通り |
出走数別の組み合わせ数と、1点で当たる確率
3連単の数は出走数のほぼ3乗で増えます。出走数が3倍（6→18）になると、組み合わせは約41倍になります。すべての着順が同じ確率で起きると仮定すると、でたらめに1点だけ選んで当たる確率は「1÷組み合わせの数」です。
| 出走数 | 3連複 | 3連単 | 3連単を1点で当てる確率 |
|---|---|---|---|
| 6頭 | 20通り | 120通り | 1/120（約0.833%） |
| 8頭 | 56通り | 336通り | 1/336（約0.298%） |
| 10頭 | 120通り | 720通り | 1/720（約0.139%） |
| 12頭 | 220通り | 1,320通り | 1/1,320（約0.076%） |
| 14頭 | 364通り | 2,184通り | 1/2,184（約0.046%） |
| 16頭 | 560通り | 3,360通り | 1/3,360（約0.030%） |
| 18頭 | 816通り | 4,896通り | 1/4,896（約0.020%） |
ボックスの点数と、全体に占める割合
「ボックス」は、選んだ m 個の番号どうしでできる組み合わせをすべて買う方法です。点数は、出走数 n の代わりに m を式に入れれば求められます。
3連単ボックス ＝ m×(m−1)×(m−2) ／ 3連複ボックス ＝ m×(m−1)×(m−2)÷6
| 選ぶ数 | 3連単ボックス | 3連複ボックス | 6艇で押さえる割合 |
|---|---|---|---|
| 3頭 | 6点 | 1点 | 5.0% |
| 4頭 | 24点 | 4点 | 20.0% |
| 5頭 | 60点 | 10点 | 50.0% |
| 6頭 | 120点 | 20点 | 100.0% |
3連単ボックスと3連複ボックスは点数が6倍ちがいますが、全組み合わせに占める割合は同じです（例：6艇の4艇ボックスは 24÷120 と 4÷20 で、どちらも20.0%）。どちらも「上位3着がすべて選んだ番号から出る」という同じできごとを押さえているためです。18頭立てで5頭ボックスを組むと、3連単は60点でも全体の約1.23%にとどまります。
点数を増やすほど当たる割合は上がりますが、そのぶん1回あたりに使う金額も増えます。ここで計算しているのは「組み合わせの何％を押さえているか」であり、得か損かは払戻金（オッズ）と合わせて期待値で考える必要があります。
前提（単純化していること）
- このページの確率は、すべての着順が同じ確率で起きると仮定した「でたらめに選んだ場合」の値です。実際のレースでは出走するものごとに強さがちがうため、組み合わせごとの確率は同じではありません。
- 同着・欠場・返還などは考えていません。枠連やワイド（拡連複）など、ほかの券種も扱っていません。
- 払戻金は売上から一定の割合を差し引いて分配されます。JRAの払戻率は3連単が72.5%、3連複が75.0%、ボートレースは約75%です。宝くじやtotoとの比較は還元率の比較、オッズと払戻率の関係は競馬の控除率と期待値で確かめられます。
同じ「組み合わせを数える」考え方は、1～43から6個を選ぶロト6の確率や、52枚から5枚を配るポーカーの役の確率にも使われています。
よくある質問
- 3連単の数は、なぜ3連複のちょうど6倍なのですか？
- 上位3つの番号が決まると、その3つの着順の並べ方が 3×2×1＝6通りあるからです。3連複の1通りは、3連単の6通りをまとめたものです。
- 6艇で4艇ボックスを組むと、5回に1回は当たるのですか？
- 「すべての着順が同じ確率」という仮定のもとでは、上位3着が選んだ4艇から出る確率は20.0%です。実際のレースは各艇の確率が異なるため、この割合どおりにはなりません。また、当たる割合が高くても点数が多いぶん使う金額が増える点に注意が必要です。
関連する実験・ツール
このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。特定のくじ・券種・買い方や予想をすすめるものではありません。