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誕生日のパラドックス｜何人集まると同じ誕生日の確率が50%を超える？
最終更新日：
30人ほどのクラスに同じ誕生日の2人がいる確率は、直感よりずっと高く、23人で50%を超えます。このページでは、人数を動かして確率の曲線を見たり、ランダムに作ったクラスで実際に同じ誕生日を探したりして、「誕生日のパラドックス」を確かめます。
シミュレーターを読み込んでいます…
同じ誕生日の人がいる確率の計算式
「同じ誕生日の組が1組以上ある」確率は、反対の「全員の誕生日がばらばら」の確率を1から引いて求めます。1人目は365日のどれでもよく、2人目は残りの364日、3人目は363日…と、前の人と重ならない日を選ぶ確率をかけ合わせます。
n人の中に同じ誕生日がいる確率 ＝ 1 − （365/365）×（364/365）× … ×（（365 − n ＋ 1）/365）
一方、「自分と同じ誕生日の人がいる」確率は、自分以外のn−1人がそれぞれ自分の誕生日と違う確率（364/365）をかけ合わせて、1から引きます。
自分と同じ誕生日の人がいる確率 ＝ 1 −（364/365）n−1
人数ごとの確率の表
| 人数 | 2人の組の数 | 誰か2人が同じ | 自分と同じ人がいる |
|---|---|---|---|
| 5人 | 10組 | 2.7% | 1.1% |
| 10人 | 45組 | 11.7% | 2.4% |
| 20人 | 190組 | 41.1% | 5.1% |
| 23人 | 253組 | 50.7% | 5.9% |
| 30人 | 435組 | 70.6% | 7.6% |
| 40人 | 780組 | 89.1% | 10.1% |
| 50人 | 1,225組 | 97.0% | 12.6% |
| 57人 | 1,596組 | 99.0% | 14.2% |
誰か2人が同じ誕生日である確率は、23人で50%、41人で90%、57人で99%を超えます。これに対して、自分と同じ誕生日の人がいる確率は23人でも5.9%しかありません。自分と同じ人がいる確率を50%以上にするには、自分を含めて254人が必要です。
なぜ直感とずれるのか
「23人」と聞いて少なく感じるのは、多くの人が無意識に「自分と同じ誕生日の人」を思い浮かべるからです。実際に数えるべきなのは、クラスの中の「どの2人の組でもよい」一致です。23人から2人を選ぶ組み合わせは253組あり、1組ごとの一致の確率は1/365と小さくても、組の数が人数の2乗に近いペースで増えるため、どこか1組が一致する確率はすぐに大きくなります。
ちなみに、自分と同じ誕生日の人を探す場合、比べる相手は「自分以外の人数」だけです。253人と比べてようやく約50.0%になり、この253という数が23人の組の数と同じなのは、どちらも「一致するかどうかを確かめる組が253組ある」ことに対応しているからです（組どうしが完全には独立でないので、確率はぴったりは一致しません）。
同じしくみは、ガチャで「かぶり」が早く起こることや、全種類をそろえるときに最後が遅くなることにも関係しています。候補の数が多くても、比べる組の数が増えると一致はすぐに起こります。
このページの前提（単純化していること）
- 2月29日生まれは除き、1年を365日として、どの日も同じ確率で誕生日になるものとしています。2月29日を366日目として同じ確率で扱っても、23人の確率は50.6%で、結論はほとんど変わりません。
- 実際の誕生日は季節や曜日によって少しかたよりがあります。かたよりがあると、同じ誕生日になる確率はわずかに高くなります。
- 双子などの関係は考えていません。
よくある質問
- 366人いれば必ず同じ誕生日の人がいますか？
- 2月29日を除いて365日とすれば、366人いると必ずどこかの日に2人以上がいます（鳩の巣原理）。2月29日も含めるなら367人です。ただし確率としては、57人の時点で99%を超えています。
- クラスで同じ誕生日の人がいなかったら、計算が間違っているのですか？
- 30人のクラスでも、同じ誕生日の人がいない確率は約29%あります。確率は多くのクラスを集めたときの割合なので、1つのクラスの結果だけでは判断できません。上の「1,000クラスで確かめる」で、割合が計算に近づくことを確かめられます。
関連する実験・ツール
このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。