モンティ・ホール問題を遊んで納得する｜扉を変えると当たる確率は2/3

モンティ・ホール問題のルール

1. 3つの扉のうち、1つの後ろには当たり（車）、残り2つにははずれ（ヤギ）がある。
2. 挑戦者が扉を1つ選ぶ。
3. 当たりの場所を知っている司会者が、残りの2つのうちはずれの扉を1つ必ず開ける。
4. 挑戦者は、最初の扉のままにするか、残ったもう1つの扉に変えるかを選べる。

このルールのもとでは、変えると当たる確率は2/3、変えないと1/3です。

なぜ変えると2/3になるのか

最初に選んだ扉が当たりである確率は1/3です。司会者がはずれを開けても、この事実は変わりません。司会者は当たりを知っていて、必ずはずれを開けるので、「最初の扉」について新しい情報は何も加わらないからです。

一方、「最初に選ばなかった2つの扉のどちらかに当たりがある」確率は2/3です。司会者はその2つのうち、はずれのほうを開けて見せてくれます。そのため2/3の確率が、開けられずに残った1つの扉に集まります。

最初にはずれを選んでいた場合（確率2/3）は、変えれば必ず当たります。変えて負けるのは、最初に当たりを選んでいた場合（確率1/3）だけです。

「残りは2枚だから1/2」がまちがいになる理由

「扉が2枚残ったのだから半々」と考えたくなりますが、2枚の扉は同じ条件で残ったわけではありません。最初の扉は挑戦者が偶然選んだもの、もう1枚は司会者が「当たりを避けて開けなかった」ものです。司会者の行動に当たりの場所の情報が含まれているため、2枚の確率は等しくなりません。

扉が100枚あり、司会者がはずれを98枚開けた場面を考えると、直感でも「最初の1枚より残った1枚のほうが怪しい」と感じやすくなります。シミュレーターのSTEP 4で扉を増やすと、変えた場合の確率は99%になります。

条件が変わると答えも変わる

• 司会者が当たりを知らずに、たまたまはずれを開けた場合は、変えても変えなくても1/2になります。
• 司会者が「挑戦者が当たりを選んだときだけ扉を開ける」ような場合は、変えると不利になります。

確率は「どういうしくみで情報が出てきたか」で変わります。この考え方は、検査結果から確率を見直すベイズの定理にもつながります。

よくある質問

自分で数回遊ぶと、変えないほうが当たることもあります。

数回では偶然の影響が大きいためです。STEP 3で1,000回以上くり返すと、割合が2/3と1/3に分かれていく様子がはっきり見えます。

変えれば必ず当たるのですか？

いいえ。変えると当たる確率が2/3になるだけで、3回に1回ははずれます。

関連する実験・ツール

このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。