くじ引きは先に引くと得？引く順番と当たる確率を実験で確かめる

どの順番でも当たる確率は同じ

n本のうちk本が当たりのくじを、n人が順番に1本ずつ引き、引いたくじは戻さないとします。まだだれの結果も知らない時点で、i番目の人が当たる確率は、順番によらず次の値です。

i番目の人が当たる確率 ＝ k / n（どの i でも同じ）

いちばんわかりやすい考え方は、「くじを引く前に、n本のくじがでたらめな順番で1列に並べてある」と見なすことです。i番目の人は、その列のi番目のくじを受け取るだけです。でたらめに並べた列のどの位置にも、当たりが来る確率は同じk/nです。10本中3本が当たりなら、1番目の人も、5番目の人も、最後の人も、当たる確率は30%です。

2番目の人で確かめる

10本中3本が当たりの場合で、2番目の人が当たる確率を、1番目の人の結果で場合分けして計算します。

3/10 × 2/9 ＋ 7/10 × 3/9 ＝ 6/90 ＋ 21/90 ＝ 27/90 ＝ 3/10

1番目が当たりを持っていくと2番目は不利に、はずれを持っていくと有利になります。両方の場合を起きる確率で重みづけして足すと（全確率の公式）、ちょうど1番目と同じ3/10に戻ります。3番目以降も同じ計算をくり返すと、すべてk/nになります。

結果を知ると確率が変わる（条件付き確率）

「どの順番でも同じ」というのは、前の人の結果を知らない時点での話です。前の人の結果がわかると、残っているくじの中身がわかるので、次の人の確率は変わります。たとえば10本中3本が当たりで、1番目と2番目の人がどちらもはずれだったと知っていれば、3番目の人が当たる確率は、残り8本中3本で3/8（37.5%）です。

シミュレーターのSTEP 2では、1人引くたびに「そのときの当たる確率」を表に記録します。値は結果によって上下しますが、引く前の時点ではどの人も同じk/nです。STEP 4では、実験で1番目が当たりだった回だけ・はずれだった回だけを取り出して、2番目の人が当たった割合を数え、計算と比べられます。このように、情報によって確率が変わる考え方はモンティ・ホール問題やベイズの定理にもつながります。

このページの前提

• くじはよく混ぜてあり、どの並び順も同じ確率で起こるものとしています。
• 引いたくじは戻さず、くじの本数と引く人数は同じにしています。
• 確率の考え方を学ぶための教材で、くじや抽選の買い方・参加の仕方をすすめるものではありません。

よくある質問

当たりが出てしまったあとに引く人は、損をしていませんか？

当たりが先に出たあとで引く人の確率は下がりますが、はずれが続いたあとで引く人の確率は上がります。引く順番を決める時点では、どちらになるかわからないので、平均するとだれも損も得もしません。

実験で順番ごとの割合が少しずつ違うのはなぜですか？

回数が有限なので、偶然のぶれが出るためです。1,000回より10,000回のほうが、どの順番の割合もk/nの線に近くそろいます。

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このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。