コンプガチャの確率｜全種類そろえるには平均何回？シミュレーターで体験

全種類そろえるまでの平均回数の計算式

n種類のアイテムがどれも同じ確率1/nで出るとします。すでにi種類持っているとき、次の1回で新しい種類が出る確率は（n−i）/nなので、新しい種類が出るまでの平均回数は n/（n−i）回です。これを0種類から n−1種類までたし合わせると、全種類そろうまでの平均回数になります。

平均回数 ＝ n/n ＋ n/（n−1）＋ … ＋ n/1 ＝ n ×（1 ＋ 1/2 ＋ … ＋ 1/n）

かっこの中は「調和数」と呼ばれ、種類数が大きいときはおよそ「自然対数 ln n ＋ 0.58」になります。そのため平均回数は、種類数に比例するよりも少し速いペースで増えていきます。この問題は確率論では「クーポンコレクター問題」と呼ばれています。

m回以内に全種類そろう確率は、「どれかの種類が出ていない確率」を包除原理で差し引いて求められます。

m回以内にそろう確率 ＝ Σ_k=0～n（−1）^k × C（n, k）×（1 − k/n）^m

ただしこの式は大きな数の足し引きをくり返すため、種類数が多いとコンピューターの計算で誤差（桁落ち）が大きくなります。このページのツールでは、「何種類持っているか」の確率を1回ずつ更新していく方法で計算しており、種類数が少ないときは上の式と同じ値になることを確かめています。

種類数ごとの早見表

種類数を10種類から100種類へ10倍にすると、平均回数は約17.7倍になります。また、半分の人がそろう回数（中央値）は平均より少し少なく、運が悪い人は平均を大きく超えます。10種類でも、9割の人がそろうまでには44回が必要です。

最後の1種類がなかなか出ない

10種類の場合、最初の5種類は平均6.5回でそろいます。ところが残りの5種類には平均22.8回かかります。最後の1種類は1回あたり10%でしか出ないため、それだけで平均10回かかり、全体の平均29.3回の約34%を占めます。集めている途中で「かぶり」ばかりに感じるのは、確率のしくみとして自然なことです。

このページの前提（単純化していること）

• すべての種類が同じ確率で出て、1回ごとの結果は独立とします。実際には種類ごとに確率が違うことが多く、出にくい種類があると平均回数はさらに増えます。
• 交換・重複の変換・確定枠などのしくみは含めていません。
• 1種類だけを狙う場合の確率はガチャの確率計算、天井がある場合はガチャの天井と期待値で確かめられます。

よくある質問

種類数と同じ回数を引けば、全部そろう可能性はどれくらいですか？

10種類を10回で1つずつ全部引く確率は、10回すべてが違う種類になる確率で、約0.036%です。種類数と同じ回数でそろうことは、ほとんどありません。

友だちと交換できる場合はどうなりますか？

何人かで引いて交換すると、ひとりあたりの必要な回数は大きく減ります。ただし交換のルールによって計算が変わるため、このページでは1人で集める場合だけを扱っています。

関連する実験・ツール

このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。特定のゲームの排出率を示すものではありません。実際の排出率や天井のしくみは各ゲームの公式の表示で確認してください。