ガチャの天井と期待値｜天井まで行く確率と平均何回で当たるかを計算

天井があるときの平均回数の計算式

排出率をp、天井をN回（N回目で必ず当たる）とします。N−1回目までは毎回確率pの抽選で、そこまで外れ続けた人だけがN回目に天井で当たります。k回目に初めて当たる確率は、k<N なら（1−p）^k−1×p、k＝N なら（1−p）^N−1です。この分布の平均を計算すると、次のようにまとまります。

平均回数 ＝ （1 −（1 − p）^N）÷ p

天井まで引く確率 ＝ （1 − p）^N−1

天井がない場合の平均は「1÷排出率」回です。上の式の分子「1 −（1 − p）^N」は「N回以内に自力で当たる確率」なので、天井があると平均回数は必ず「1÷排出率」より小さくなります。1回の費用が決まっていれば、平均の費用は「平均回数 × 1回の費用」、いちばん多くかかる場合は「天井の回数 × 1回の費用」です。

排出率1%のときの早見表

排出率1%・天井200回では、平均86.6回で当たり、天井がない場合の100回より13.4回少なくなります。一方で、天井の200回目まで引くことになる人が13.5%、およそ7～8人に1人います。平均だけを見ると「90回くらいで当たる」と感じますが、実際には平均の2倍以上の回数がかかる人が珍しくない、という点も同時に押さえておく必要があります。

天井は「平均を下げる」より「最悪の場合に上限をつける」しくみ

天井の回数が「1÷排出率」より大きいとき、天井に届く前に当たる人が大半なので、平均はあまり下がりません。排出率1%で天井300回なら平均95.1回で、天井がない場合との差は5%弱です。それでも、300回を超えて外れ続ける可能性がなくなり、かかる回数の上限が決まります。反対に天井の回数が小さいほど平均は下がりますが、その分だけ天井まで引く人の割合が高くなります。天井50回では61.1%の人が天井まで引くことになり、「天井で当たるのがふつう」の状態です。

このページの前提（単純化していること）

• 1回ごとの排出率は一定で、前の結果に影響されないものとします。
• 天井は「N回目で必ず当たる」形とし、当たったら回数の数え方がリセットされるものとして、最初の1回が当たるまでを計算しています。
• ポイントを貯めて交換する形、天井の回数が引き継がれる形、ピックアップの確率が途中で変わる形などは含めていません。実際のしくみは各ゲームの公式の表示を確認してください。
• 天井がない場合の確率はガチャの確率計算で確かめられます。

よくある質問

天井があると、1回ごとの当たりやすさは上がりますか？

このページの前提では、天井の回数に届くまでは毎回同じ排出率です。天井は最後の1回で必ず当たる保証なので、途中の回が当たりやすくなるわけではありません。平均回数が下がるのは、長く外れ続ける場合が天井で打ち切られるためです。

平均の費用だけ用意すれば足りますか？

平均はあくまで多くの人をならした値です。排出率1%・天井200回の例では13.5%の人が天井まで引くので、平均の費用では足りない人が一定の割合でいます。費用を考えるときは、平均と「天井まで引いた場合」の両方を見るのが大切です。

関連する実験・ツール

このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。特定のゲームの排出率を示すものではありません。実際の排出率や天井のしくみは各ゲームの公式の表示で確認してください。