分散投資と相関係数｜2つの資産を組み合わせると値動きはどう変わる？

しくみ：組み合わせのσの公式

ここでは「リスク」を、一定期間の値動き（リターン）の標準偏差σで表します。資産Aを割合w、資産Bを割合1−wで持つとき、組み合わせ（ポートフォリオ）の標準偏差σpは次の式で計算できます。

σp ＝ √（w²σA² ＋（1−w）²σB² ＋ 2w（1−w）ρσAσB）

ρ（ロー）は相関係数で、−1～＋1の値をとります。＋1は2つがまったく同じ方向に同じ割合で動く状態、0は動きに直線的な関係がない状態、−1は正反対に動く状態です。ρ＝＋1のときだけσpはσAとσBを割合で平均した値になり、ρが＋1より小さいと、AとBを両方持つ配分では必ずそれより小さくなります。この差が「分散の効果」です。

σpが最も小さくなるAの割合は、式を微分して求められます（このページでは空売りをしない0～100%の範囲に制限しています）。

最小になるAの割合 ＝（σB² − ρσAσB）÷（σA² ＋ σB² − 2ρσAσB）

表：σ20%どうしを半分ずつ持った場合

相関が0でも、σは20%から約14.1%（20% ÷ √2）に下がります。相関が低いほど打ち消し合いが大きくなり、−1では理論上ぶれが完全になくなります。

σが違う2つの場合

σA＝10%、σB＝20%、ρ＝0.2（STEP 2の最初の設定）では、半分ずつ持ったときのσは約12.0%です。σが最も小さくなるのはAを約85.7%持つ配分で、σは約9.6%になり、σの小さいA単独（10%）よりも下がります。相関が0なら、Aを80%持つ配分で約8.9%まで下がります。

前提（単純化していること）

計算では、σと相関係数が一定で、値動きが正規分布に従うと仮定しています。実際の相関係数は時期によって変わることがあり、過去に低かった相関が、大きな相場変動のときに高まる場合もあります。散布図の点は乱数で作っているので、点が少ないうちは、点から計算した相関が設定値からずれることもあります。値動きのばらつきの読み方は標準偏差と正規分布のページで、上下動が長期の資産にどう影響するかはレバレッジの減価のページで扱っています。

よくある質問

相関係数が0なら、2つの資産はまったく無関係ですか？

相関係数は「直線的な関係」の強さだけを表します。0でも、片方が大きく動いたときだけもう片方も動く、といった直線的でない関係が隠れていることはあります。また、短い期間の点から計算した相関は偶然でも大きくぶれます。

資産の数を増やすと、リスクはどこまでも下がりますか？

互いの相関が0なら、同じσの資産をn個均等に持つとσは1/√nに下がっていきます。しかし相関が正の場合は、どれだけ数を増やしても、全体に共通する動きの分だけリスクが残ります。何個に分けるかより、どれだけ違う動きをするかが効いてきます。

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このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。特定の取引方法・金融商品をすすめるものではありません。