レバレッジの減価とは？上下動で資産が目減りする仕組みをシミュレーション

上がって下がると元に戻らない理由

100が+10%で110になり、次に−10%すると、110の10%（11）だけ下がって99になります。上がった後の大きな値から下がるので、同じ%の上下では元に戻りません。

（1 ＋ r）×（1 − r）＝ 1 − r²

r ＝ 10%なら1往復で0.99倍です。1回では1%の差でも、くり返すと効いてきます。+10%と−10%を10往復すると約90.4%、50往復すると約60.5%まで減ります。

レバレッジをかけると減価は倍率の2乗で大きくなる

毎日、元の値動きの L 倍になるように保つ（毎日リバランスする）と、1往復の倍率は（1 ＋ Lr）×（1 − Lr）＝ 1 − L²r² になります。目減りの大きさは倍率の2乗に比例します。元の値動きが±10%のとき、3倍では1往復で 1.3 × 0.7 ＝ 0.91倍、50往復で約0.9%まで減ってしまいます。元の値動きは行って戻るだけなのに、3倍で受けると価値はほとんど残りません。

ランダムな値動きでも同じことが起こります。年率の期待リターンを μ、変動の大きさ（年率の標準偏差）を σ とすると、L 倍の価値の「ふつうの伸び」（中央値の伸び）は、年率でおよそ次のようになります。

g ≒ L × μ − L² × σ² ÷ 2

μ ＝ 5%、σ ＝ 20% の場合を計算すると次のとおりです。

10年後の中央値は、1倍で約1.35倍、2倍で約1.22倍、3倍で約0.74倍になります。期待リターンは倍率に比例して増えますが、減価は倍率の2乗で増えるため、この条件では3倍の中央値が元本を下回ります。シミュレーターのSTEP 3で、200通りの中央値が近似式の点線に沿って動く様子を確かめられます。

平均は伸びても、ふつうの結果は伸びない

同じ条件で10年後の平均（期待値）を計算すると、1倍で約1.65倍、2倍で約2.72倍、3倍で約4.48倍と、倍率が高いほど大きくなります。それでも中央値が低いのは、ごく一部の経路が非常に大きく伸びて平均を引き上げ、大多数の経路は目減りしているからです。倍率を上げると、結果は「まれに大きく増え、多くは減る」形に偏っていきます。

このページの前提（単純化していること）

• 1年を252日とし、毎日の値動き（変化率）を正規分布で独立に作っています。実際の値動きには急落や、変動の大きさの変化があります。
• 毎日、元の値動きのちょうど L 倍になるように保つモデルです。借入の金利、手数料、税金は考えていません。1日で価値が0以下になる場合は0として扱います。
• 近似式 g ≒ Lμ − L²σ²/2 は、1日の値動きが小さいときの近似です。変動が非常に大きいときや倍率が高いときは、シミュレーションの中央値と少しずれます。
• 特定の金融商品の成績を示すものではありません。

よくある質問

レバレッジが1倍でも減価は起こりますか？

起こります。上の式の L ＝ 1 の場合で、σ²/2 だけ中央値の伸びが期待リターンより低くなります。σ ＝ 20% なら年率2.0%分です。倍率を上げると、この差が倍率の2乗で大きくなります。

上昇が続く相場なら、3倍のほうが有利ではありませんか？

上下動が小さく一方向に動き続ける期間なら、3倍の伸びは大きくなります。減価が効くのは、上下動が大きい期間です。どちらになるかは事前には分からないので、このページでは「上下動の大きさと倍率によって、ふつうの結果がどう変わるか」を確かめています。値動きのランダム性はランダムウォークのページで、積立と一括の比較はドルコスト平均法のページで確かめられます。

関連する実験・ツール

このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。特定の取引方法・金融商品をすすめるものではありません。