標準偏差と正規分布をわかりやすく｜平均±1σ・2σに入る割合を体験

しくみ：正規分布と標準偏差

正規分布は、平均を中心に左右対称のつりがね型をした分布です。身長や測定の誤差、たくさんの小さな要因が足し合わさってできる量が、おおむねこの形になることが知られています。形は平均μ（山の位置）と標準偏差σ（山の幅）の2つだけで決まります。

標準偏差は「平均からのずれの2乗の平均」の平方根で、ざっくり言えば平均からの典型的なずれの大きさです。値が平均からσ何個分離れているかを表す数字をzスコアと呼びます。

z ＝（値 − 平均μ）÷ 標準偏差σ

zスコアに直すと、どんな平均・σの正規分布も「平均0・σ1」の標準正規分布にそろえて比べられます。STEP 2でσを大きくすると山は低く横に広がりますが、±1σに入る割合は変わらないのはこのためです。

表：平均±kσに入る割合

「68・95・99.7のルール」と呼ばれる関係です。±1σの外にも約3回に1回は出ますし、±3σの外に出るのも約370回に1回はあります。「3σを超えたからありえない」ではなく、回数が多ければときどき起きる、と読むのが正確です。

計算例：平均50・標準偏差10の場合

• 60以上（z＝1）になる確率は約15.9%
• 65以上（z＝1.5）になる確率は約6.7%
• 70以上（z＝2）になる確率は約2.3%
• 40～60（±1σ）に入る確率は約68.3%

STEP 2で「a以上」を選び、aを60・65・70に動かすと同じ数字になります。

前提（単純化していること）

為替などの値動きも、短い期間では正規分布で近似されることが多い一方、急な大きい変動が正規分布の想定より起きやすいことが知られています。値動きの大きさを具体的な通貨ペアで見たいときは、関連ツールのボラティリティ計算機も参考になります。多くの値を平均するとなぜ正規分布が現れるのかは中心極限定理のページで、回数を数える分布が正規分布に近づく様子は二項分布のページで確かめられます。

よくある質問

標準偏差と分散の違いは何ですか？

分散は「平均からのずれの2乗」の平均で、標準偏差はその平方根です。分散は単位も2乗になる（円なら円の2乗）ので、元のデータと同じ単位で散らばりを表せる標準偏差のほうが直感的に読みやすくなります。

STEP 3で点を打つと、割合が理論どおりにならないのはなぜですか？

点は乱数で打っているので、少ない点数では偶然のずれが大きく出ます。100点では数%ずれることも普通ですが、10,000点まで増やすと68.3%・95.4%・99.7%に近づいていきます。点数が少ないうちの割合のぶれ方は勝率は何回で分かるかの実験でも体験できます。

関連する実験・ツール

このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。