二項分布とは？n回中k回成功する確率をグラフで試す計算ツール

二項分布の公式

1回ごとの成功確率がpで、各回の結果が互いに影響しないとき、n回中ちょうどk回成功する確率は次の式で計算できます。

P（X = k）＝ _nC_k × p^k ×（1 − p）^n−k

_nC_kは「n回のうちどのk回が成功だったか」の並べ方の数です。たとえばコインを10回投げて表が5回になる並べ方は252通りあり、1つの並びが起きる確率は（1/2）¹⁰＝1/1024なので、252 ÷ 1024 ≒ 24.6%になります。

平均と標準偏差

回数nを増やすと、成功回数のばらつき（標準偏差）は√nに比例して大きくなりますが、成功の割合のばらつきは小さくなっていきます。これが大数の法則です。

グラフの形はnとpで変わる

• p＝0.5のときは左右対称の山形になります。
• pが小さいときは、0回や1回に山が寄り、右に長く伸びた形になります。まれな出来事の回数はポアソン分布でも近似できます。
• nが大きいときは、pにかかわらず正規分布（つりがね型）に近づきます。STEP 2で「正規分布の近似」を重ねると、nを大きくするほど重なっていく様子が見られます。

使いどころの例

• 排出率3%のガチャを50回引いて、2回以上当たる確率（k回以上）
• 勝率55%の方法で20回トレードして、勝ちが負けより少なくなる確率（9回以下）
• 不良率1%の部品を100個調べて、不良が1つも見つからない確率（ちょうど0回）

勝率の記録がどれくらい偶然でぶれるかは、勝率は何回で分かるかの実験でも確かめられます。

よくある質問

「k回以上」の確率はどう計算しますか？

k回、k＋1回、…、n回の確率をすべて足します。1から「k−1回以下」の確率を引いても同じです。計算ツールで「k回以上」を選ぶと自動で計算します。

二項分布が使えないのはどんなときですか？

成功確率が回ごとに変わる場合や、前の結果が次の結果に影響する場合（くじを戻さずに引くなど）は、そのままでは使えません。戻さずに引く場合の考え方はくじ引きの順番の実験で扱っています。

関連する実験・ツール

このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。