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ポアソン分布とは？まれな出来事が起きる回数の確率をグラフで試す
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ポアソン分布は、一定の時間や範囲の中で平均λ回ばらばらに起きる出来事が、ちょうどk回起きる確率を表す分布です。このページでは、λを動かしてグラフの形を確かめ、二項分布との近さや、ランダムに起こした出来事を区間ごとに数えた結果と比べられます。
シミュレーターを読み込んでいます…
ポアソン分布の公式
出来事が互いに影響せず、どの瞬間にも同じ起きやすさでばらばらに起きるとき、1区間（1時間・1日など）に起きる回数Xは、次の確率に従います。
P（X ＝ k）＝ λk × e−λ ÷ k!
eは約2.718の定数、k!は1からkまでの積です。たとえばλ＝1なら、1回も起きない確率は e−1 ≒ 36.8% です。平均1回の出来事でも、3回に1回くらいは1度も起きない区間があることになります。
ポアソン分布の平均と分散はどちらもλで、標準偏差は√λです。平均が大きいほどばらつきの幅も大きくなりますが、平均に対する割合で見ると小さくなっていきます。
表：λ＝2のときの確率と二項分布との比較
ポアソン分布は、「成功確率pが小さい試行を、回数nを多くくり返す」二項分布で、平均np＝λを一定に保ったまま極限をとったものです。λ＝2で比べると次のようになります。
| 回数k | ポアソン | 二項 n＝10 | 二項 n＝100 |
|---|---|---|---|
| 0回 | 13.5% | 10.7% | 13.3% |
| 1回 | 27.1% | 26.8% | 27.1% |
| 2回 | 27.1% | 30.2% | 27.3% |
| 3回 | 18.0% | 20.1% | 18.2% |
| 4回 | 9.0% | 8.8% | 9.0% |
λ＝2では、ちょうど平均の2回になる確率は約27.1%しかなく、1回も起きない確率が約13.5%、3回以上が約32.3%あります。確率の差を合計して半分にした値（全変動距離）で比べると、n＝10では約5.2%ずれますが、n＝100では約0.5%までほぼ重なります。このように二項分布は、nが大きくpが小さいときポアソン分布で近似できます。
使いどころの例
- 1日平均3件届く問い合わせが、ある日1件も来ない確率（λ＝3、k＝0 で約5.0%）
- 1ページ平均0.5個の誤字が、あるページに2個以上ある確率
- 排出率の低いガチャを多く引いたときの当たりの回数（ガチャの確率計算も参照）
前提（単純化していること）
ポアソン分布が当てはまるのは、出来事が互いに影響せず、時間帯によって起きやすさが変わらない場合です。1つの出来事が次を呼ぶ（連鎖する）場合や、朝と夜で起きやすさが違う場合は、分散が平均より大きくなるなど、ポアソン分布からずれます。
STEP 3では、出来事と出来事の間隔を指数分布の乱数で作り、時間の線に並べています。区間ごとの回数を数えると、平均と分散がどちらもλに近くなることを確かめられます。点が固まったりすき間ができたりするのは、ばらばらに起きる出来事の自然な姿で、何か原因があるとは限りません。
よくある質問
- λは整数でなくてもよいのですか？
- はい。λは平均なので0.5や2.7でもかまいません。一方、回数kは0・1・2…の整数です。λが小さいと0回に山が寄り、λが大きいと山が右へ移って左右対称に近づき、正規分布で近似できるようになります。
- 二項分布とポアソン分布はどう使い分けますか？
- 試行回数nと成功確率pがはっきりしているなら二項分布、「平均何回起きるか」しか分からず、起きる機会が非常に多くて1回ごとの確率が小さい場合はポアソン分布が便利です。STEP 2で二項分布を重ねると、nが大きいほど両者が重なることを確かめられます。
関連する実験・ツール
このページは、確率・期待値・ランダム性を理解するための学習用です。シミュレーションの結果は乱数によるもので、実行するたびに変わり、将来の結果を示すものではありません。